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学びの森パスカルさん
八幡町の学習塾です。

幼児・小・中・高の学習指導、社会人のための英会話教室の他、
通信制高校の学習支援センターもやっています。

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小学校算数再入門(7)分数の割り算
小学6年生はこの時期、分数のかけ算とわり算を習います。

分数のわり算のときは、分母と分子をひっくり返してかけ算しますよね。


なぜ分数のわり算のとき、分母と分子をひっくり返してかけていいのか、

子どもに聞かれたらどうやって説明します?

これってなかなか難しいんですよね。


今日は教科書に載っていない、うまい説明をご紹介しましょう。

まず、わり算について次のことを確認しておきます。

6円を3円ずつ分けると、2人に分けられます。

また、60円を30円ずつわけると、やはり2人に分けられます。



つまり、割られる数と割る数の両方に同じ数をかけても、答えは同じ

ということです。

よろしいですか?


次に、分数に分母と分子をひっくり返した数(逆数)をかけると、答えは1

になります。

よろしいですよね?


それからもう一つ、どんな数でも1で割ると答えは、割られる数自身になります


このルールが納得できたら、次の式をよくご覧になって下さい。

割られる数と割る数の両方に、d/cをかけるのです。





というわけです。

なかなかすっきりとした考え方ですよね。

小学校算数再入門(6)素数その2
算数の範囲を超えてしまいますが、今回は素数にまつわるお話を。
 
17世紀のフランスにフェルマーという人がいました。彼は、次のような式で表される数を考えました。
これをフェルマー数といいます。
 
この式のnに、0から順に数を入れていきます。
 
 
F0から、F4まではすべて素数となりました。
 
フェルマーは、F5も素数であろうと予想しました。
 
 
ところが、F5の4294967297は素数ではなかったのです。
 
この数は、上のように素数の積で表されたのです。
 
これを発見したのは、スイスの数学者オイラーです。フェルマーの予想から100年が過ぎていました。
 
次のF6はさらに150年経って、ランドリーという人が素因数分解に成功します。この時彼は82歳(!)だったそうです。
 


それ以降は、コンピューターの登場を待たねばなりませんでした。
 
1975年にF7が素因数分解されます。
 


そして、1981年にはF8が。
 


現在、フェルマー数はF33までが素数でないことがわかっているそうです。
 
このように大きな数の素因数分解はコンピュータと言えども、非常に難しいものの一つなのです。
小学校算数再入門(5)素数その1
今日は素数の定義と素因数分解についてです。

素数とは、1と自分自身以外に約数を持たない数です。

ただし1は素数ではないとします。

最小の素数は、2です。2の約数は1と2だけです。
素数で偶数なのは2だけです。

次からは、奇数だけチェックしていきます。

3の約数は1,3
5の約数は1,5
7の約数は1,7

という風に、約数を1とその数自身の2個しか持たない数を求めていきます。

1~100までの素数を書きますと

2,3,5,7,11,13,17,19,
23,29,31,37,41,43,47
53,59,61,67,71,73,79,
83,89,97

の25個あります。素数と間違えやすいのは、51,57,87,91あたりでしょうか。

51=3×17、57=3×19、87=3×29、91=7×13ですから、これらは

素数ではありません。


さて、素数でない数は、素数の積で表すことができます。

4=2×2、6=2×3、8=2×2×2,10=2×5,・・・

100=2×2×5×5,・・・

例えば156号線の156は、2×2×3×13となります。

このように整数を素数の積で表すこと素因数分解といいます。

例えば420を素因数分解してみましょう。

2)420
 ---
2)210  ←2で割れる限り2で割り続けます
 ---
3)105  ←2で割れなくなったら、次の素数3で割ります
 ---
5) 35  ←次の素数5で割ります
 ---
    7  ←素数になったらおしまい

420=2×2×3×5×7 となります。

ではパスカルの電話番号の2908を素因数分解してみましょう。

2)2908
 ----
2)1454
 ----
   727  ←さてこれは素数でしょうか。

727÷3,727÷5、727÷7、・・・

一体いくつまで確かめたら素数だと言えるでしょうか。

26×26=676 で、27×27=729です。

この場合26より小さい最大の素数23で割り切れなければ、

727は素数だといってよいのです。

少し話が難しいかもしれませんが、頑張って分かりやすく説明します。

727の約数を求めるときの方法を思い出して下さい。

  1   ○   ←この○があれば727は素数ではありません。
------
727   △

中3で習いますが、電卓で727と押して√のキーを押すと

26.96・・・ という半端な数が表示されます。

これは、26.96・・・×26.96・・・=276 となる数を表しています。

つまり、上の表は

  1  26.96・・・
---------
727  26.96・・・

で終わるということです。すなわち、26.96・・・までの素数で割り切れなかったら、727は素数ということになるのです。

26.96・・・までの素数というのは、

2,3,5,7,11,13,17,19,23 ということになります。

727は、これらのどれでも割り切れませんので、727は素数ということになります。

晴れて、2908=2×2×727 と素因数分解できました。


電卓を使ってやるやりかたをまとめておきます。

5671 の場合、√キーを押して、75.3を求めておきます。

75.3までの素数で割り切れるかを順にチェックしていきます。

やってみると、おっと5671÷53=107で割り切れました。

107は√107=10.3 までの素数で割りきれず素数ですからこれで終りです。

5671=53×107 となりました。


あなたの家の電話番号や、車の番号は素数でしょうか。

素数でないなら、素因数分解してみて下さい。


さて、上の計算はコンピュータが得意とする繰り返しの演算ですね。

ところが、コンピュータと言えどもとても大きな数の素因数分解には、

ものすごく時間がかかってしまうのです。

(つづく)

小学校算数再入門(4)倍数と約数
今日は倍数と約数についてみていきましょう。

□=3×○ (□も○も整数)

の関係があるとき、□を3の倍数といいます。

3=3×1、6=3×2、9=3×3 ・・・ ですから、

3の倍数は、3,6,9,12,15,18,21、・・・ となります。

ある数□を割ったとき、余りがでない数を□の約数といいます。

□÷3=○ 3は□の約数

例えば、6の約数は

6÷1=6

6÷2=3

6÷3=2

6÷4=1あまり2

6÷5=1あまり1

6÷6=1

なので、1,2,3,6となります。

ここで、□÷3=○の式は、□=3×○と同じ式でしたね。

ですから、6=1×6 という式は、6=6×1とも書けるので、

1もその相手の6も、6の約数と言えます。

同様に6=2×3=3×2より、2と3が約数になることがわかります。

したがって、約数を求めるときはかけ合わせて6になる整数の組を求めていくと簡単です。

1 2 3 6
---------
6 3 2 1

となりますが、下のように左半分ですべての約数が求まったことになります。

1 2
----
6 3

同様に、24の約数であれば

 1  2  3  4
---------------
24 12  8  6

このやり方だと6と8、8と12、12と24の間の約数などは存在しないことがわかりますね。相手の整数が存在しませんから。

36の約数では

 1  2  3  4  6
-------------------
36 18 12  9  6

となり、6×6でおしまいとなります。

約数はペアで求まるので、その個数は偶数個ですが、○×○の数(平方数といいます)では、奇数個となります。


次回は素数のお話です。
面白くなくても続けます(^^;)
小学校算数再入門(3)0で割る?
算数や数学では「0で割ってはいけない」と習いますね。

なぜ、0で割ってはいけないのでしょうか。

ここで、前回の復習をしておきます。

割り算とは、もとにかけ算があったのでした。

 6÷3=

という計算は

 6=3×□

の□の数を求める計算でした。

6=3×2 だから 6÷3=2


それでは

 6÷0=

という計算はどうなるでしょう。

上のように考えると

 6=0×□

の□の数を求める計算になります。

0に何をかけても0にしかなりませんから、

このような数は存在しないということになります。


また、

 0÷0=

という計算はどうでしょうか。

それは

 0=0×□

の□の数を求めることになりますが、

 0=0×1、0=0×2、0=0×3、・・・・・・・

となり

□の数は無数に存在することになりますね。


したがって、0で割るという計算は、

答えが存在しないか、無数にあるということになり、

これでは計算ができませんから、

0で割ってはいけないということになっているのです。

小学校算数再入門(2)かけ算とわり算
さて、かけ算とはどういう計算でしょう。

今、一つの皿にリンゴが3個置いてあります。この皿が4枚あると、リンゴは全部でいくつになるでしょうか。

3+3+3+3=12

となります。

この計算を簡単にするのがかけ算です。

3が4つあるときに、

3×4 という計算をするのです。

ここで注意して欲しいのは、決して4×3ではないということです。

3+3+3+3=3×4

4×3という計算は、4+4+4のときに使う式です。

このようにかけ算では、かけられる数とかける数は厳密に区別されるべきものです。

答えは一緒になりますから、計算するときはどちらでも構いませんが。

3×4とは、3を4回たすことと同じです。

かけ算というのは、たし算のことなのでした。


それでは今度はリンゴが12個あります。
このリンゴを3個ずつ皿にのせていったら、何皿できるでしょうか。

12個のリンゴから、3個ずつ引いていってみましょう。

12-3=9

 9-3=6

 6-3=3

 3-3=0

4皿できましたね。

12-3-3-3-3=12-(3+3+3+3)=0

12からは、3は4回ひける。

3+3+3+3=3×4でしたから

12-3×4=0

ということになり、

つまりは12=3×4ということです。

何皿できるかを知りたいときは

12=3×□

の□の数が知りたいということになります。

この□の式を求めるときに、わり算を使うのです。

□=12÷3=4

この計算は、12から3が4回ひけることを表しています。

かけ算がたし算を簡単にするものであったように、

わり算はひき算を簡単にするものなのです。


では今度は同じ12個のリンゴを

4つの皿に分けてみましょう。


12個のリンゴから1個ずつ、一つの皿にのせていきます。

皿が4枚あるので、1個ずつのせると4個必要になります。

12-4=8

残った8個から、また一皿に1個ずつリンゴをのせていきます。

 8-4=4

 4-4=0

計3回のせることができました。

12-4-4-4=12-(4+4+4)=0

12からは、4を3回引くことができる。

すなわち、12=4×3 となり、一皿に何個のリンゴがのるか知りたいときは、

12=4×□

の□を求めることになります。それは

□=12÷4

で求められるということになります。

□=○×△ という関係があるとき、

□を求めるにはかけ算

○や△を求めるにはわり算を使うということです。

かけ算よりわり算の計算ミスがやはり多いのですが、これもわり算をしたら

即かけ算で確かめをすることで、ミスを防ぐことができます。

91÷0.7=130  すぐに 0.7×130=91 と確かめをします。
小学校算数再入門(1)たし算と引き算
小学校で習う「たし算」「ひき算」「かけ算」「割り算」は、全部違う

別の計算だと思っている方、結構おられるのではないでしょうか。

このシリーズではその誤解を取り除き、約数や倍数、素数、素因数分解

それを利用したインターネット上の暗号・・・などといった話にまでつなげれたら

いいなと思っています(あくまで予定です)

書けそうもないと判断したら、上の文を内緒で削除します(^^;)

また、私は正式に数学を学んだわけではないので、間違った概念等が

あったらご指摘頂けると有難いです。


第1回の今日は、たし算とひき算についてです。

たし算とひき算は、同じことを表しています。

今、リンゴが下のようにあるとします。

ここでは

 5 = 3 + 2

という関係が成り立ちます。 


この5が知りたいときは、

 □ = 3 + 2 というたし算になり、


2が知りたいときは、

□ = 5 - 3 というひき算になります。

同様に3が知りたいときは、

□ = 5 - 2 というひき算になります。


つまりたし算とひき算は

□ = ○ + △ という関係において、

どこの数が知りたいかというだけのことなのです。


たし算とひき算では圧倒的にひき算での計算ミスが多発します。

たし算の繰り上がりより、ひき算の繰り下げのミスのほうが多いのです。

例えば

360-174 の計算で 答えを196としてしまうミスです。

ひき算をしたらすぐにたし算でチェックするクセをつけるとよいです。

上の計算ならば、196を出した瞬間に196+174を計算します。

結果は370になりますから、ミスに気づくというわけです。

計算ミスの少ない人は、必ずこういうチェックを即座に入れながら計算しています。


今回はわかりきった話ですいません(次回も?)。

次回は、かけ算とわり算についてです。お楽しみに。

(あんまり楽しみじゃないかも)